Question

选做题（请考生在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按做的第一题评阅计分）
（1）（极坐标与参数方程）在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为

x=- 2 +rcosθ y=- 2 +rsinθ

（θ为参数，r＞0）．以O为极点，x轴正半轴为极轴，并取相同的单位长度建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin(θ+

π

4

)=1．当圆C上的点到直线l的最大距离为4时，圆的半径r=

1

．
（2）（不等式）对于任意实数x，不等式|2x+m|+|x-1|≥a恒成立时，若实数a的最大值为3，则实数m的值为

4或-8

．

Answer 1

分析：（1）将直线和圆的方程化为直角坐标方程，利用直线和圆的位置关系求解．
（2）要使不等式|2x+m|+|x-1|≥a恒成立，需f（x）=|2x+m|+|x-1|的最小值大于或等于a，问题转化为求f（x）的最小值，从而解决问题．

解答：解：（1）圆的直角坐标方程为（x+

2

）²+（y+

2

）²=r²，
圆心的直角坐标（-

2

，-

2

）．
直线l的极坐标方程为ρsin（θ+

π

4

）=1即为x+y-

2

=0，
圆心O（-

2

，-

2

）到直线的距离d=

|- 2 - 2 - 2 |

2

=3．
圆O上的点到直线的最大距离为 3+r=4，解得r=1．
（2）解：（1）设f（x）=|2x+m|+|x-1|=2|x+

m

2

|+|x-1|，
当

m

2

≥-1时，
则有f（x）=

3x+m-1，x＞1 x+m+1．- m 2 ≤x≤1 -3x-m+1，x＜- m 2

，
其图象如图所示，当x=-

m

2

时，取得最小值f（-

m

2

）=

m

2

+1；
当

m

2

＜-1时，
则有f（x）=

3x+m-1，x＞- m 2 -x-m-1.1≤x≤- m 2 -3x-m+1，x＜1

，
当x=-

m

2

时，取得最小值f（-

m

2

）=-

m

2

-1；
由题意，若实数a的最大值为3，则

m

2

+1=3或-

m

2

-1=3，
∴m=4或m=-8．
∴实数m的值为 4或-8
故答案为：1；4或-8．

点评：本题考查极坐标、参数方程与普通方程互化、绝对值不等式的解法，以及恒成立问题，体现了等价转化的数学思想．