Question

2．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$的左、右焦点分别为F₁、F₂，过点F₁作倾斜角为$\frac{π}{3}$的直线交椭圆于A、B两点，求：
（1）弦AB的长
（2）△F₂AB的面积．

Answer 1

分析 （1）通过椭圆方程可知F₁（-1，0）、F₂（1，0），进而可知过点F₁作倾斜角为$\frac{π}{3}$的直线方程为y=$\sqrt{3}$（x+1），通过联立直线与椭圆方程可知A、B两点的横坐标，进而利用两点间距离公式计算可得结论；
（2）通过（1）可知，点F₂（1，0）到直线y=$\sqrt{3}$（x+1）的距离为d，进而利用${S}_{△{F}_{2}AB}$=$\frac{1}{2}$d•|AB|计算即得结论．

解答 解：（1）依题意，F₁（-1，0）、F₂（1，0），
∴过点F₁作倾斜角为$\frac{π}{3}$的直线方程为：y=$\sqrt{3}$（x+1），
联立直线与椭圆方程，消去y整理得：5x²+8x=0，
解得：x=0或x=-$\frac{8}{5}$，
∴|AB|=2$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=2•$\frac{8}{5}$=$\frac{16}{5}$；
（2）由（1）可知，点F₂（1，0）到直线y=$\sqrt{3}$（x+1）的距离为d，
则d=$\frac{|\sqrt{3}-0+\sqrt{3}|}{\sqrt{3+1}}$=$\sqrt{3}$，
${S}_{△{F}_{2}AB}$=$\frac{1}{2}$d•|AB|=$\frac{1}{2}$•$\sqrt{3}$•$\frac{16}{5}$=$\frac{8\sqrt{3}}{5}$．

点评 本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．