Question

11．已知函数f（x）=2cos$\frac{ωx}{2}$（$\sqrt{3}$cos$\frac{ωx}{2}$-sin$\frac{ωx}{x}$）（ω＞0）的最小正周期为2π．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）设θ∈（0，$\frac{π}{2}$），且f（θ）=$\sqrt{3}$+$\frac{6}{5}$，求cosθ的值．

Answer 1

分析 （1）把已知的函数解析式变形，结合其最小正周期求出ω，则函数解析式可求；
（2）把f（θ）=$\sqrt{3}$+$\frac{6}{5}$代入函数解析式求得$sin（θ-\frac{π}{3}）=-\frac{3}{5}$，结合θ的范围得到cos（$θ-\frac{π}{3}$），再由cosθ=cos[$（θ-\frac{π}{3}）+\frac{π}{3}$]展开两角和的余弦得答案．

解答 解：（1）f（x）=2cos$\frac{ωx}{2}$（$\sqrt{3}$cos$\frac{ωx}{2}$-sin$\frac{ωx}{x}$）
=$2\sqrt{3}co{s}^{2}\frac{ωx}{2}-2sin\frac{ωx}{2}cos\frac{ωx}{2}$
=$\sqrt{3}（1+cosωx）-sinωx$
=$\sqrt{3}+\sqrt{3}cosωx-sinωx$
=$\sqrt{3}-2sin（ωx-\frac{π}{3}）$．
∵f（x）的最小正周期为2π，∴ω=1，
∴f（x）=$\sqrt{3}-2sin（x-\frac{π}{3}）$；
（2）f（θ）=$\sqrt{3}-2sin（θ-\frac{π}{3}）$=$\sqrt{3}$+$\frac{6}{5}$，
∴$sin（θ-\frac{π}{3}）=-\frac{3}{5}$，
∵θ∈（0，$\frac{π}{2}$），∴$θ-\frac{π}{3}∈$（$-\frac{π}{3}，\frac{π}{6}$），
则cos（$θ-\frac{π}{3}$）=$\frac{4}{5}$．
则cosθ=cos[$（θ-\frac{π}{3}）+\frac{π}{3}$]=cos（$θ-\frac{π}{3}$）cos$\frac{π}{3}$-sin（$θ-\frac{π}{3}$）sin$\frac{π}{3}$
=$\frac{4}{5}×\frac{1}{2}-（-\frac{3}{5}）×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{4+3\sqrt{3}}{10}$．

点评 本题考查正弦函数的图象和性质，考查了三角恒等变换中的应用，是基础的计算题．