Question

（2013•许昌二模）已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

2

2

，并且直线y=x+b是抛物线C₂：y²=4x的一条切线．
（I）求椭圆C₁的方程．
（Ⅱ）过点S(0，-

1

3

)的动直线l交椭圆C₁于A、B两点，试问：在直角坐标平面上是否存在一个定点T，使得以AB为直径的圆恒过定点T？若存在求出T的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（I）先跟据直线y=x+b是抛物线C₂：y²=4x的一条切线，求出b的值，再由椭圆离心率为

2

2

，求出a的值，则椭圆方程可得．
（Ⅱ）先假设存在一个定点T，使得以AB为直径的圆恒过定点，再用垂直时，向量

PA

，

PA

的数量积为0，得到关于直线斜率k的方程，求k，若能求出，则存在，若求不出，则不存在．

解答：解：（I）由

y=x+b y2=4x

得x²+（2b-4）x+b²=0
直线y=x+b是抛物线C₂：y²=4x的一条切线．
所以△=0⇒b=1e=

c

a

=

2

2

⇒a=

2

所以椭圆C1：

x2

2

+y2=1（5分）
（Ⅱ）当直线l与x轴平行时，以AB为直径的圆方程为x2+(y+

1

3

)2=(

4

3

)2
当直线l与y轴重合时，以AB为直径的圆方程为x²+y²=1
所以两圆的切点为点（0，1）（8分）
所求的点T为点（0，1），证明如下．
当直线l与x轴垂直时，以AB为直径的圆过点（0，1）
当直线l与x轴不垂直时，可设直线l为：y=kx-

1

3

由  

y=kx- 1 3 x2 2 +y2=1

得（18k²+9）x²-12kx-16=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）则

x1+x2= 12k 18k2+9 x1x2= -16 18k2+9

TA

•

TB

=x1x2-

4

3

(x1+x2)+

16

9

=(1+k2)

-16

18k2+9

-

4

3

×

12k

18k2+9

+

16

9

=0
所以

TA

⊥

TB

，即以AB为直径的圆过点（0，1）
所以存在一个定点T，使得以AB为直径的圆恒过定点T（13分）

点评：本题考查了椭圆，抛物线与直线的综合运用，另外，还结合了向量知识，综合性强，须认真分析．