Question

（2013•锦州二模）已知正项等比数列{a_n}满足：a₃=a₂+2a₁，若存在两项a_m，a_n，使得

aman

=4a1，则

1

m

+

4

n

的最小值为（　　）

• A．

  3

  2

• B．

  5

  3

• C．

  25

  6

• D．不存在

Answer 1

分析：由正项等比数列{a_n}满足：a₃=a₂+2a₁，知q=2，由存在两项a_m，a_n，使得

aman

=4a1，知m+n=6，由此能求出

1

m

+

4

n

的最小值．

解答：解：∵正项等比数列{a_n}满足：a₃=a₂+2a₁，
∴a1q2=a1q+2a1，
即：q²=q+2，解得q=-1（舍），或q=2，
∵存在两项a_m，a_n，使得

aman

=4a1，
∴aman=16a12，
∴(a1•2m-1)•(a1•2n-1)=16a12，
∴a12•2m+n-2=16a12，
所以，m+n=6，
∴

1

m

+

4

n

=（

1

m

+

4

n

）[

1

6

（m+n）]=

1

6

（5+

n

m

+

4m

n

）≥

1

6

（5+2

n m • 4m n

）=

3

2

，
所以，

1

m

+

4

n

的最小值是

3

2

．

点评：本题考查等比数列的通项公式的应用，解题时要认真审题，仔细解答．注意不等式也是高考的热点，尤其是均值不等式和一元二次不等式的考查，两者都兼顾到了．