Question

已知双曲线，过B（1，1）能否作直线l，使l与双曲线交于P，Q两点，且B是线段PQ的中点，这样的直线如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：先假设存在这样的直线l，分类讨论：斜率存在和斜率不存在设出直线l的方程，①当k存在时，与双曲线方程联立，消去y，得到关于x的一元二次方程，直线与双曲线相交于两个不同点，则△=（2k²-2k）²-4（2-k²）（-k²+2k-3）＞0，可求k的范围，再由M是线段AB的中点，则=1，可求k，看是否矛盾，②当k不存在时，直线经过点M但不满足条件，故符合条件的直线l不存在，综合可求
解答：解：设过点B（1，1）的直线方程为y=k（x-1）+1或x=1
（1）当k存在时有
得（2-k²）x²+（2k²-2k）x-k²+2k-3=0 （1）
当直线与双曲线相交于两个不同点，则必有△=（2k²-2k）²-4（2-k²）（-k²+2k-3）＞0，
∴k＜
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
∴x₁+x₂= 又B（1，1）为线段AB的中点
∴=1 即
∴k=2
当k=2，使2-k²≠0但使△＜0
因此当k=2时，方程（1）无实数解
故过点m（1，1）与双曲线交于两点A、B且M为线段AB中点的直线不存在．
（2）当x=1时，直线经过点M但不满足条件，
综上，符合条件的直线l不存在
点评：本题考察了直线与双曲线的位置关系，特别是相交时的中点弦问题，方程的根与系数关系的应用，及利用方程思想判断直线与曲线位置关系