Question

如图所示,在四棱锥中,底面为矩形,平面,点在线段上,平面.

(Ⅰ)证明:平面;

(Ⅱ)若,,求二面角的正切值.

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ) 只需证 和 即可。(Ⅱ)3.

【解析】

试题分析：(Ⅰ)因为平面,平面,所以………2分

又因为平面,平面,所以………4分

而,平面,平面

所以平面.                              …………6分

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知平面,而平面,所以

而为矩形,所以为正方形,于是. ……7分

法1:以点为原点,、、为轴、轴、轴,建立空间直角坐标系.则、、、,于是,.        …… ………8分

设平面的一个法向量为,则             ,从而,令,得………………9分

而平面的一个法向量为.   ……………10分

所以二面角的余弦值为,

于是二面角的正切值为3.              ………………12分

法2:设与交于点,连接.因为平面,平面,平面,所以,,于是就是二面角的平面角.又因为平面,平面,所以是直角三角形.由∽可得,而,所以,,而,所以,于是,而,于是二面角的正切值为.

考点：线面垂直的判定定理；线面垂直的性质定理；二面角。

点评：二面角的求法是立体几何中的一个难点。我们解决此类问题常用的方法有两种：①综合法，综合法的一般步骤是：一作二说三求。②向量法，运用向量法求二面角应注意的是计算。很多同学都会应用向量法求二面角，但结果往往求不对，出现的问题就是计算错误。