Question

已知斜率为k（k≠0）的直线l过抛物线C：y²=4x的焦点F且交抛物线于A、B两点．设线段AB的中点为M．
（1）求点M的轨迹方程；
（2）若-2＜k＜-1时，点M到直线l'：3x+4y-m=0（m为常数，m＜

1

3

）的距离总不小于

1

5

，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设AB的中点M（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线的方程为：y=k（x-1），得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，x₁+x₂=

1

k2

（2k²+4）=2+

4

k2

，y₁+y₂=k（x₁+x₂-2）=

4

k

，由此能求出点M的轨迹方程．
（2）由（1）知，点M（1+

2

k2

，

2

k

），由题意得

1

5

(

6

k2

+

8

k

-m+3)≥

1

5

，由此能求出m的取值范围．

解答：解：设AB的中点M（x，y）；A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵直线过抛物线y²=4x得焦点F（1，0），
∴设直线的方程为：y=k（x-1），①
将①²代入抛物线方程中可得：
k²（x-1）²=4x，
∴k²x²-（2k²+4）x+k²=0，②
∴x₁+x₂=

1

k2

（2k²+4）=2+

4

k2

，
∵y₁+y₂=k（x₁+x₂-2）=

4

k

，
又∵x=

(x1+x2)

2

=1+

2

k2

，…③
y=

y1+y2

2

=

2

k

，
∴

2

k2

=

y2

2

，…④
∴将④代入③可得：
x=1+

y2

2

，
∴y²=2x-2．
所以点M的轨迹方程为：y²=2x-2．
（2）由（1）知，点M（1+

2

k2

，

2

k

），
∵m＜

1

3

，∴d=

1

5

|

6

k2

+

8

k

-m+3|=

1

5

(

6

k2

+

8

k

-m+3)，
由题意得

1

5

(

6

k2

+

8

k

-m+3)≥

1

5

，
m≤

6

k2

+

8

k

+2对-2＜k＜-1恒成立，
∵-2＜k＜-1时，

6

k2

+

8

k

+2的最小值是-

2

3

，
故m的取值范围是{m|m≤-

2

3

}．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合运用，考查运算推理能力和论证求解能力，综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．