Question

已知椭圆G：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

2

2

，右焦点F（1，0）．过点F作斜率为k（k≠0）的直线l，交椭圆G于A、B两点，M（2，0）是一个定点．如图所示，连AM、BM，分别交椭圆G于C、D两点（不同于A、B），记直线CD的斜率为k₁．
（Ⅰ）求椭圆G的方程；
（Ⅱ）在直线l的斜率k变化的过程中，是否存在一个常数λ，使得k₁=λk恒成立？若存在，求出这个常数λ；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（I）由c²=a²-b²，及已知中c=1，

c

a

=

2

2

．求出a，b的值，可得椭圆G的方程；
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄）．联立方程后，使用韦达定理，分别求出x₃，y₃，x₄，y₄．代入斜率公式，可得k₁=-k．

解答：解：（Ⅰ）设c²=a²-b²，由题意c=1，

c

a

=

2

2

．解得a=

2

，b=1．
∴椭圆G的方程为

x2

2

+y2=1．                                            …（5分）
（Ⅱ）存在常数λ=-1．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄）．
联立

x2 2 +y2=1 y=k(x-1)

，可得（1+2k²）x²-4k²x+2（k²-1）=0
于是x₁+x₂=

4k2

1+2k2

，x₁•x₂=

2(k2-1)

1+2k2

．
直线AM的斜率t₁=

y1

x1-2

，联立

x2 2 +y2=1 y=t1(x-2)

，可得
（1+2t12）x²-8t12x+2（4t12-1）=0
则x₁•x₃=

2(4t12-1)

1+2t12

，进一步可得x₃=

2(4t12-1)

(1+2t12)x1

．
将t₁=

y1

x1-2

代入，则x₃=

3x1-4

2x1-3

同理可得x₄=

3x2-4

2x2-3

．
则y₃=

-k(x1-1)

2x1-3

，y₄=

-k(x2-1)

2x2-3

由

x32

2

+y32=1，

x42

2

+y42=1两式相减可得，
k₁=-k综上可知，存在常数λ=-1．                                   …（15分）

点评：本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的关系，椭圆的标准方程，联立方程+韦达定理+设而不求，是解答此类问题的关键方法，但本题运算量巨大，属于难题．