Question

已知椭圆G：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

6

3

，右焦点为 （2

2

，0）．斜率为1的直线l与椭圆G交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P（-3，2）．
（Ⅰ）求椭圆G的方程；
（Ⅱ）求△PAB的面积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由椭圆G：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

6

3

，右焦点为 （2

2

，0），知

c a = 6 3 c=2 2

，由此能求出椭圆G的方程．
（Ⅱ）设l：y=x+b，代入

x2

12

+

y2

4

=1，得4x²+6bx+3b²-12=0，根据韦达定理xA+xB=-

3b

2

，xA•xB=

3b2-12

4

，故y_A+y_B=

b

2

，由此能求出△PAB的面积．

解答：解：（Ⅰ）∵椭圆G：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

6

3

，右焦点为 （2

2

，0），
∴

c a = 6 3 c=2 2

，解得a=2

3

，
∴b=

12-8

=2，
∴椭圆G的方程为

x2

12

+

y2

4

=1．
（Ⅱ）设l：y=x+b，
代入

x2

12

+

y2

4

=1，得4x²+6bx+3b²-12=0，
根据韦达定理xA+xB=-

3b

2

，xA•xB=

3b2-12

4

，
∴y_A+y_B=

b

2

，
设M为AB的中点，则M（-

3b

4

，

b

4

），AB的中垂线的斜率k=-1，
∴AB的中垂线：x+y+

b

2

=0，将P（-3，2）代入，得b=2，
∴l：x-y+2=0，根据弦长公式可得AB=3

2

，d=

3

2

，
∴S_△PAB=

1

2

×3

2

×

3

2

=

9

2

．

点评：本题考查椭圆方程和三角形面积的求法，具体涉及到椭圆的简单性质、直线和椭圆的位置关系、根与系数的关系、根的判别式、中垂线方程的求法、弦长公式等基本知识点，解题时要认真审题，注意等价转化思想的灵活运用．