Question

【题目】已知椭圆C： （a＞b＞0）的离心率为 ，短轴长为 ，过右焦点F的直线l与C相交于A，B两点．O为坐标原点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若点P在椭圆C上，且 = + ，求直线l的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：由2b=2 ．得b= ，

即有 = ，a2﹣c2=2，

所以 ，

则椭圆方程为

（2）解：椭圆C的方程为2x2+3y2=6．设A（x1，y1），B（x2，y2）．

（ⅰ）当l不垂直于x轴时，设l的方程为y=k（x﹣1）．

C上的点P使 = + 成立的充要条件是P点坐标为（x1+x2，y1+y2），

且2（x1+x2）2+3（y1+y2）2=6，

整理得2x12+3y12+2x22+3y22+4x1x2+6y1y2=6，

又A、B在椭圆C上，即2x12+3y12=6，2x22+3y22=6，

故2x1x2+3y1y2+3=0．①

将y=k（x﹣1）代入2x2+3y2=6，并化简得

（2+3k2）x2﹣6k2x+3k2﹣6=0，

于是x1+x2= ，x1x2= ，

y1y2=k2（x1﹣1）（x2﹣1）= ．

代入①解得k2=2，

因此，当k=﹣ 时，l的方程为 x+y﹣ =0；

当k= 时，l的方程为 x﹣y﹣ =0．

（ⅱ）当l垂直于x轴时，由 + =（2，0）知，

C上不存在点P使 = + 成立．

综上，l的方程为 x±y﹣ =0

【解析】（1）由题意可得b= ，运用离心率公式和a，b，c的关系，可得a，进而得到椭圆方程；（2）设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）．（ⅰ）当l不垂直于x轴时，设l的方程为y=k（x﹣1），代入椭圆方程，运用韦达定理和向量的坐标表示，解方程可得k；（ⅱ）当l垂直于x轴时，由向量的加法运算，即可判断．