Question

1．数列{a_n}中，a₁=8，a₄=2且满足a_n+2=2a_n+1-a_n（n∈N₊）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设S_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|，求S_n．
（3）设b_n=$\frac{n+1}{（n+2）^{2}（10-{a}_{n}）^{2}}$（n∈N₊），数列{b_n}的前n项和为T_n，证明：对于任意的n∈N₊，都有T_n＜$\frac{5}{64}$．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列的定义及其通项公式即可得出；
（2）对a_n≥0，a_n＜0，讨论，再利用等差数列的前n项和公式即可；
（3）利用“裂项求和”与不等式的性质即可得出．

解答 解：（1）∵数列{a_n}满足a_n+2=2a_n+1-a_n（n∈N₊），
∴数列{a_n}是等差数列，公差为d．
∵a₁=8，a₄=2，
∴2=8+3d，解得d=-2．
∴a_n=8-2（n-1）=10-2n．
（2）设数列{a_n}的前n项和为A_n，则A_n=$\frac{n（8+10-2n）}{2}$=n（9-n）．
令a_n≥0，解出n≤5．
∴当n≤5时，S_n=A_n=n（9-n），
当n≥6时，S_n=A₅-a₆-a₆-…-a_n
=2A₅-A_n
=2×5×（9-5）-n（9-n）
=n²-9n+40．
∴S_n=$\left\{\begin{array}{l}{9n-{n}^{2}，n≤5}\\{{n}^{2}-9n+40，n≥6}\end{array}\right.$．
（3）证明：b_n=$\frac{n+1}{（n+2）^{2}（10-{a}_{n}）^{2}}$=$\frac{n+1}{（n+2）^{2}（2n）^{2}}$=$\frac{1}{16}（\frac{1}{{n}^{2}}-\frac{1}{（n+2）^{2}}）$$（\frac{1}{{n}^{2}}-\frac{1}{（n+2）^{2}}）$，
∴数列{b_n}的前n项和T_n=$\frac{1}{16}[（1-\frac{1}{{3}^{2}}）$+$（\frac{1}{{2}^{2}}-\frac{1}{{4}^{2}}）$+$（\frac{1}{{3}^{2}}-\frac{1}{{5}^{2}}）$+…+$（\frac{1}{（n-1）^{2}}-\frac{1}{（n+1）^{2}}）$+$（\frac{1}{{n}^{2}}-\frac{1}{（n+2）^{2}}）]$
=$\frac{1}{16}（1+\frac{1}{4}-\frac{1}{（n+1）^{2}}-\frac{1}{（n+2）^{2}}）$＜$\frac{5}{64}$．
∴对于任意的n∈N₊，都有T_n＜$\frac{5}{64}$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．