Question

若方程

3

sinx+cosx=a在[0，2π]上有两个不同的实数解x₁、x₂，求a的取值范围，并求x₁+x₂的值．

Answer 1

分析：设函数y₁=

3

sinx+cosx，y₂=a，在同一平面直角坐标系中作出这两个函数的图象，应用数形结合解答即可．

解答：解：设f（x）=

3

sinx+cosx=2sin（x+

π

6

），x∈[0，2π]．
令x+

π

6

=t，则f（t）=2sint，且t∈[

π

6

，

13π

6

]
在同一平面直角坐标系中作出y=2sint及y=a的图象，结合函数的图象可知
当1＜a＜2和-2＜a＜1时，两图象有两个交点，即方程

3

sinx+cosx=a在[0，2π]上有两不同的实数解．
当1＜a＜2时，t₁+t₂=π，
即x₁+

π

6

+x₂+

π

6

=π，
∴x₁+x₂=

2π

3

；
当-2＜a＜1时，t₁+t₂=3π，
即x₁+

π

6

+x₂+

π

6

=3π，
∴x₁+x₂=

8π

3

．
综上可得，a的取值范围是（1，2）∪（-2，1）．
当a∈（1，2）时，x₁+x₂=

2π

3

；
当a∈（-2，1）时，x₁+x₂=

8π

3

．

点评：本题主要考查了辅助角公式在三角函数的化简中的应用及方程的根与函数的交点的相互转化，体现了数形结合思想的应用．