Question

直角梯形ABCD，BC∥AD，BC=BA=

1

2

AD=m，AD⊥AB，VA⊥面ABCD
（1） 求证：VC⊥CD；
（2） 若 VA=

2

m，求VC与面VAD所成的角．

Answer 1

分析：（1）由题意先建立空间直角坐标系，求出各点的坐标，进而得到所求证的两线的法向向量垂直；
（2）由题意利用空间向量的知识求出线面角是利用其直线的方向向量与平面的法向量之间的关系求出结果．

解答：证明：以A为坐标原点，建立如图直角坐标系
则A（0，0，0），D（0，2m，0），C（m，m，0），
（1）设V（0，0，n），则

VC

=(m，m，-n)

DC

=(m，-m，0)
∵

VC

•

DC

=m2-m2+0=0
∴VC⊥DC
（2）解：若VA=

2

m即

VC

=(m，m，-

2

m)
又面VAD的法向量为

n

=(1，0，0)
cos＜

VC

，

n

＞=

VC • n

| VC || n |

=

m

1×2m

=

1

2

∴＜

VC

，

n

＞=600
故VC与面VAD所成角为30⁰

点评：（1）此问重点考查了利用空间向量证明线线垂直，及学生要准确得证需准确写出个点的空间坐标；
（2）此问重点考查了利用空间向量求解线面角的值，还考查了直线的方向向量与平面的法向量之间成角与线米昂角之间的关系．