Question

（2013•湖北）已知S_n是等比数列{a_n}的前n项和，S₄，S₂，S₃成等差数列，且a₂+a₃+a₄=-18．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）是否存在正整数n，使得S_n≥2013？若存在，求出符合条件的所有n的集合；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设数列{a_n}的公比为q，依题意，列出关于其首项a₁与公办q的方程组，解之即可求得数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）依题意，可求得1-（-2）ⁿ≥2013，对n的奇偶性分类讨论，即可求得答案．

解答：（Ⅰ）设数列{a_n}的公比为q，显然q≠1，由题意得

a1(1-q4) 1-q + a1(1-q3) 1-q = 2a1(1-q2) 1-q a3 q +a3+qa3=-18

，解得q=-2，a₃=12，
故数列{a_n}的通项公式为a_n=a₃•q^n-3=12×（-2）^n-3=（-

3

2

）×（-2）ⁿ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）有a_n=（-

3

2

）×（-2）ⁿ．若存在正整数n，使得S_n≥2013，则S_n=

3[1-(-2)n]

1-(-2)

=1-（-2）ⁿ，即1-（-2）ⁿ≥2013，
当n为偶数时，2ⁿ≤-2012，上式不成立；
当n为奇数时，1+2ⁿ≥2013，即2ⁿ≥2012，则n≥11．
综上，存在符合条件的正整数n=2k+1（k≥5），且所有这样的n的集合为{n|n=2k+1（k≥5）}．

点评：本题考查等比数列的通项公式，考查等比数列的求和，考查分类讨论思想与方程思想，考查综合分析与推理运算能力，属于难题．