Question

汽车和自行车分别从A地和C地同时开出，如图，各沿箭头方向（两方向垂直）匀速前进，汽车和自行车的速度分别是10米/秒和5米/秒，已知AC=100米．（汽车开到C地即停止）
（1）经过t秒后，汽车到达B处，自行车到达D处，设B、D间距离为y，写出y关于t的函数关系式，并求出定义域．
（2）经过多少时间后，汽车和自行车之间的距离最短？最短距离是多少？

Answer 1

分析：（1）经过t秒后，汽车到达B处、自行车到达D处，利用勾股定理可得BD²=BC²+CD²=125[（t-8）²+16]，从而可求y关于t的函数关系式，及定义域；
（2）利用配方法求函数的最值，可知当t=8秒时，汽车和自行车之间的距离最短．

解答：解：（1）经过t秒后，汽车到达B处、自行车到达D处，
则BD²=BC²+CD²=（100-10t）²+（5t）²=125（t²-16t+80）=125[（t-8）²+16]…（4分）
所以y=BD=

125(t2-16t+80)

=

125[(t-8)2+16]

…（6分）
定义域为：t∈[0，10]…（8分）
（2）∵y=

125[(t-8)2+16]

，t∈[0，10]
∴当t=8时，ymin=

125×16

=20

5

…（12分）
答：经过8秒后，汽车和自行车之间的距离最短．最短距离是20

5

米．…（13分）

点评：本题考查的重点是解决实际问题，解题的关键是利用勾股定理构建函数模型，利用配方法解决最值问题，属于中档题．