Question

给定抛物线C：y²=4x，F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A、B两点，记O为坐标原点．
（1）求

OA

•

OB

的值；
（2）设

AF

=λ

FB

，当三角形OAB的面积S∈[2，

5

]时，求λ的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据抛物线方程可得焦点F的坐标，设出直线的方程与抛物线方程联立消去x，设A，B的坐标分别为（x₁，y₁）（x₂，y₂）根据韦达定理可求得y₁y₂进而求得x₁x₂的值进而可得答案．
（2）由

AF

=λ

FB

可知所以（1-x₁，-y₁）=λ（x₂-1，y₂），与抛物线方程联立整理得x₁=λ²x₂，进而求得y₂和x₂，代入三角形面积公式，进而根据面积的范围求得λ的范围．

解答：解：（1）根据抛物线方程y²=4x可得F（1，0）
设直线l的方程为x=my+1，将其与C的方程联立，消去x得y²-4my-4=0
设A，B的坐标分别为（x₁，y₁）（x₂，y₂）
则y₁y₂=-4
因为

y

2 1

=4x1，

y

2 2

=4x2，所以x1x2=

1

16

y

2 1

y

2 2

=1
故

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=-3
（2）解：因为

AF

=λ

FB

，
所以（1-x₁，-y₁）=λ（x₂-1，y₂）
即

1-x1=λx2-λ -y1=λy2

又y₁²=4x₁③y₂²=4x₂④
由②、③、④消去y₁，y₂后得，x₁=λ²x₂
将其代入①，1-λ²x₂=λx₂-λ，整理后注意到λ＞0，解得x2=

1

λ

从而可得y2=-

2

λ

，y1=2

λ

故三角形OAB的面积S=

1

2

|OF|•|y1-y2|=

λ

+

1

λ

因为

λ

+

1

λ

≥2恒成立，所以只要解

λ

+

1

λ

≤

5

即可，
解得

3- 5

2

≤λ≤

3+ 5

2

．

点评：本题主要考查抛物线的应用．题中涉及向量的计算，不等式问题和解三角形等问题，综合性很强．