Question

给定抛物线c：y²=4x，F是c的焦点，过点F的直线l与c相交于A，B两点．
（1）设l的斜率为1，求

OA

与

OB

夹角的余弦值；
（2）设

FB

=λ

AF

，若λ∈[4，9]，求l在y轴上的截距的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先根据抛物线方程求得焦点的坐标，进而可求得直线l的方程，代入抛物线方程消去x，设出A，B的坐标，根据韦达定理，结合平面向量的数量积运算，可求

OA

与

OB

夹角的余弦值；
（2）得关于x₂和y₂的方程组，进而求得x₂=λ．得到B的坐标，根据焦点坐标可得直线的方程，进而求得直线在y轴上的截距，判断g（λ）=

2 λ

λ-1

在[4，9]上是递减的在[4，9]上是递减的，即可得到答案．

解答：解：（1）C的焦点为F（1，0），直线l的斜率为1，∴l的方程为y=x-1．
将y=x-1代入方程y²=4x，整理得x²-6x+1=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则有x₁+x₂=6，x₁x₂=1，y₁+y₂=4，y₁y₂=-4．
∴cos＜

OA

，

OB

＞=

OA • OB

| OA || OB |

=

x1x2+y1y2

x12+y12• x22+y22

=-

3 41

41

．
∴

OA

与

OB

夹角的余弦值为-

3 41

41

．
（2）由题设得（x₂-1，y₂）=λ（1-x₁，-y₁），
即x₂-1=λ（1-x₁）①，y₂=-λy₁②
由②得y₂²=λ²y₁²，
∵y₁²=4x₁，y₂²=4x₂
，∴x₂=λ²x₁③
联立①③解得x₂=λ．依题意有λ＞0．
∴B（λ，2

λ

）或B（λ，-2

λ

），
又F（1，0），
得直线l的方程为（λ-1）y=2

λ

（x-1）或（λ-1）y=-2

λ

（x-1）
当λ∈[4，9]时，l在y轴上的截距为

2 λ

λ-1

或-

2 λ

λ-1

，
设g（λ）=

2 λ

λ-1

，λ∈[4，9]，
可知g（λ）=

2 λ

λ-1

在[4，9]上是递减的，
∴

3

4

≤

2 λ

λ-1

≤

4

3

，或-

4

3

≤-

2 λ

λ-1

≤-

3

4

，
即直线l在y轴上截距的变化范围为

3

4

≤

2 λ

λ-1

≤

4

3

，或-

4

3

≤-

2 λ

λ-1

≤-

3

4

．

点评：本题主要考查了抛物线的应用和抛物线与直线的关系，考查了学生对圆锥曲线知识的综合掌握，有难度．