Question

【题目】如图1，在矩形ABCD中，AB=8，AD=3，点E，F分别为AB、CD的中点，将四边形AEFD沿EF折到A1EFD1的位置，使∠A1EB=120°，如图2所示，点G、H分别在A1B、D1C上，A1G=D1H= ，过点G、H的平面α与几何体A1EB﹣D1FC的面相交，交线围成一个正方形．
（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；
（2）求点E到平面α的距离．

Answer 1

【答案】
（1）解：如图所示：

（2）解：过E作EP⊥GM，垂足为P，连接HP，

∵EF⊥A1E，EF⊥BE，A1E∩BE=E，

∴EF⊥平面A1BE，

∵A1G=D1H，∴GH∥EF，

∴GH⊥平面A1BE，又EP平面A1BE，

∴EP⊥GH，又GH∩GM=G，GH平面GHNM，GM平面GHNM，

∴EP⊥平面GHNM，

由（1）可知GM∥A1E，EM=1，

∴∠PEM=30°，

∴PM= ，PE= = ，

∴点E到平面α的距离为 ．

【解析】解：（1）由题意可知A1E=BE=4，GH=A1D1=3， 在△A1BE中，由余弦定理得A1B= =4 ，
设平面α与几何体的截面正方形为GHNM，则GM=3，
若M在棱BE上，设BM=x，则由余弦定理得cos30°= = ，解得x=3，
若M在棱A1E上，设A1M=x，
则由余弦定理得cos30°= = ，解得x=9（舍）．
过M作MN∥EF交CF于N，连接GH，MN，GM，HN，
则正方形GHNM即为要作的正方形．