Question

【题目】已知抛物线的方程为C：x2=4y，过点Q（0，2）的一条直线与抛物线C交于A，B两点，若抛物线在A，B两点的切线交于点P．
（1）求点P的轨迹方程；
（2）设直线PQ与直线AB的夹角为α，求α的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由AB直线与抛物线交于两点可知，直线AB不与x轴垂直，故可设lAB：y=kx+2，

则 ，整理得：x2﹣4ky﹣8=0…①，

△=16k2+32＞0，故k∈R时均满足题目要求．

设交点坐标为 ，则x1，x2为方程①的两根，

故由韦达定理可知，x1+x2=4k，x1x2=﹣8．

将抛物线方程转化为 ，则 ，故A点处的切线方程为 ，

整理得 ，

同理可得，B点处的切线方程为 ，记两条切线的交点P（xp，yp），

联立两条切线的方程，解得点P坐标为 ，

故点P的轨迹方程为y=﹣2，x∈R

（2）

解：当k=0时，xP=0，yP=﹣2，此时直线PQ即为y轴，与直线AB的夹角为 ．

当k≠0时，记直线PQ的斜率 ，

又由于直线AB的斜率为k，且已知直线AB与直线PQ所夹角α∈[0， ]，

tanα=丨 丨=丨 丨= +丨k丨≥2 ，

则a∈[arctan2 ， ）

综上所述，α的取值范围是∈[arctan2 ， ]

【解析】（1）将直线AB的方程代入椭圆方程，利用韦达定理及导数的几何意义，分别求得切线方程，联立即可求得点P的轨迹方程；（2）分类讨论，根据直线斜率与倾斜角的关系，即可求得tanα取值范围，即可求得α的取值范围．