Question

设函数y=f（x）的图象是曲线C₁，曲线C₂与C₁关于直线y=x对称．将曲线C₂向右平移1个单位得到曲线C₃，已知曲线C₃是函数y=log₂x的图象．
（I）求函数f（x）的解析式；
（II）设a_n=nf（x）（n∈N^*），求数列{a_n}的前n项和S_n，并求最小的正实数t，使S_n＜ta_n对任意n∈N^*都成立．

Answer 1

（I）由题意知，曲线C₃向左平移1个单位得到曲线C₂，∴曲线C₂是函数y=log₂（x+1）的图象．…（2分）
曲线C₂与曲线C₁关于直线y=x对称，∴曲线C₂是函数y=log₂（x+1）的反函数的图象y=log₂（x+1）的反函数为y=2^x-1
∴f（x）=2^x-1…（4分）
（II）由题设：a_n=n×2ⁿ-n，n∈N^*S_n=（1×2¹-1）+（2×2²-2）+（3×2³-3）+…+（n•2ⁿ-n）=（1×2¹+2×2²+3×2
²+…+n×2ⁿ）-（1+2+3+…+n）…（6分）=(1×21+2×22+3×22+…+n×2n)-

n(n+1)

2

=(1×21+2×22+3×23+…+n×2n)-

n(n+1)

2

①
2S_n=（1×2²+2×2³+3×2⁴+…+n×2ⁿ⁺¹）-n（n+1）②
由②-①得，Sn=-(21+22+23+…+2n)+n×2n+1-

n(n+1)

2

，=-

2-2n+1

1-2

+n×2n+1-

n(n+1)

2

=(n-1)×2n+1-

n2+n-4

2

…（8分）
当t=2，Sn-2an=[(n-1)2n+1-

n2+n-4

2

]-2(n×2n-n)=-[2n+1+

(n+1)(n-4)

2

]S₁-2a₁=-1＜0，S₂-2a₂=-5＜0，S₃-2a₃=-14＜0
当n≥4时，Sn-2an=-[2n+1+

(n+1)(n-4)

2

]＜0∴当t=2时，对一切n∈N^*，S_n＜2a_n恒成立．
当0＜t＜2时，Sn-2an=[(n-1)2n+1-

n2+n-4

2

]-t(n×2n-n)=[(2-t)n-2]×2n-

n2+n

2

+tn+2＞[(2-t)n-2]×2n-

n2+n

2

记M=

3

2-t

，则当n大于比M大的正整数时，Sn-tan＞2n-

n(n+1)

2

=[1+n+

n(n-1)

2

+…]-

n2+n

2

＞0
也就证明当t∈（0，2）时，存在正整数n，使得S_n＞ta_n．
也就是说当t∈（0，2）时，S_n≤ta_n不可能对一切n∈N^*都成立．∴t的最小值为2．…（14分）