Question

1．设全集U=R，集合A={x|log₅（x²-2）＞log₅（2x+1）}，B={y|y=log₂（x²+2x+5）}，求：
（1）集合A，B；
（2）∁_U（A∪B）；
（3）（∁_UA）∩（∁_UB）

Answer 1

分析 （1）求解对数不等式化简集合A，求解对数型函数的值域得到集合B；
（2）先求A∪B，再由补集概念得答案；
（3）先求∁_UA、∁_UB，再由交集运算得答案．

解答 解：（1）由log₅（x²-2）＞log₅（2x+1），得$\left\{\begin{array}{l}{2x+1＞0}\\{{x}^{2}-2＞2x+1}\end{array}\right.$，解得：x＞3．
∴A={x|log₅（x²-2）＞log₅（2x+1）}=（3，+∞）；
∵x²+2x+5=（x+1）²+4≥4，∴y=log₂（x²+2x+5）≥log₂4=2．
∴B={y|y=log₂（x²+2x+5）}=[2，+∞）．
（2）A∪B=[2，+∞），∴∁_U（A∪B）=（-∞，2）；
（3）∁_UA=（-∞，3]，∁_UB=（-∞，2），
∴（∁_UA）∩（∁_UB）=（-∞，2）．

点评 本题考查对数不等式的解法，考查了对数型函数值域的求法，考查了交、并、补集的混合运算，是基础的计算题．