Question

6．斜率为1的直线与抛物线y=ax²（a＞0）交于A、B两点，且线段AB的中点C到y轴的距离为1，则该抛物线焦点到准线的距离为（　　）

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． 1
• D． 2

Answer 1

分析 设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．由于直线斜率为1，可设方程y=x+b，与抛物线的方程联立，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系和中点坐标公式可得a的值，再求出抛物线焦点到准线的距离即可．

解答 解：设直线为y=x+b，与y=ax²联立方程组，即为$\left\{\begin{array}{l}{y=x+b}\\{y=a{x}^{2}}\end{array}\right.$，消y可得ax²-x-b=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
∴x₁+x₂=$\frac{1}{a}$，
∵线段AB的中点C到y轴的距离为1，
∴$\frac{1}{2a}$=1，
解得a=$\frac{1}{2}$，
∴y=$\frac{1}{2}$x²，
∴该抛物线焦点到准线的距离$\frac{1}{2}$a即为$\frac{1}{4}$，
故选：A

点评 本题考查了抛物线的标准方程及其性质、根与系数的关系和中点坐标公式，属于基础题．