Question

已知函数．
（Ⅰ）当时，利用函数单调性的定义判断并证明f（x）的单调性，并求其值域；
（Ⅱ）若对任意x∈[1，+∞），f（x）＞0，求实数a的取值范围．

Answer 1

解：（Ⅰ）任取x₁，x₂∈[1，+∞），且x₁＜x₂，
则△x=x₂-x₁＞0，=，…
当，
∵1≤x₁＜x₂，∴，恒成立
∴△y＞0，
∴f（x）在[1，+∞）上是增函数，
∴当x=1时，f（x）取得最小值为，
∴f（x）的值域为．
（Ⅱ），
∵对任意，恒成立
∴只需对任意x∈[1，+∞），x²+2x+a＞0恒成立．
设g（x）=x²+2x+a，x∈[1，+∞），
∵g（x）的对称轴为x=-1，∴只需g（1）＞0便可，g（1）=3+a＞0，
∴a＞-3．
分析：（I）利用函数单调性的定义，设1≤x₁＜x₂，利用作差法比较f（x₁）与f（x₂）的大小，进而证明函数f（x）为单调减函数，再利用单调性求函数最值即可；
（II）根据题意：“对任意恒成立”转化为“只需对任意x∈[1，+∞），x²+2x+a＞0恒成立”．再设g（x）=x²+2x+a，x∈[1，+∞），利用二次函数的性质求出最小值，即可得到实数a的取值范围．
点评：本题主要考查了函数单调性的定义，利用定义证明函数的单调性的方法和步骤，作差法比较大小，代数变形能力，属中档题．