Question

6．已知函数$f（x）={log_{2a}}x（a＞0，a≠\frac{1}{2}）$，
（1）若f（x₁x₂…x₂₀₁₅）=8，求f（x₁²）+f（x₂²）+…+f（x₂₀₁₅²）的值．
（2）若x∈（-1，0）时，求g（x）=f（x+1）＞0，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）运用对数的运算法则，计算化简即可得到所求值；
（2）由题意可得log_2a（x+1）＞0，由x的范围，结合对数函数的性质，即可得到a的范围．

解答 解：（1）若f（x₁x₂…x₂₀₁₅）=8，即有
log_2a（x₁x₂…x₂₀₁₅）=8，即x₁x₂…x₂₀₁₅=（2a）⁸，
则f（x₁²）+f（x₂²）+…+f（x₂₀₁₅²）=log_2ax₁²+log_2ax₂²+…+log_2ax₂₀₁₅²
=log_2a（x₁x₂…x₂₀₁₅）²=log_2a（2a）¹⁶=16；
（2）g（x）=f（x+1）＞0，即为log_2a（x+1）＞0，
由x∈（-1，0），可得x+1∈（0，1），
则0＜2a＜1，解得0＜a＜$\frac{1}{2}$．
即有a的取值范围是（0，$\frac{1}{2}$）．

点评 本题考查对数的运算性质和对数函数的单调性，考查不等式的解法，属于基础题．