Question

如图放置的正方形ABCD，AB=1，A，D分别在x，y轴的正半轴上（含坐标原点）滑动，则

OB

•

OC

的取值范围是

[1，2]

．

Answer 1

分析：令∠OAD=θ，可得出B，C的坐标，由此可以表示出两个向量，算出它们的数量积，即可求范围．

解答：解：如图令∠OAD=θ，θ∈[0，

π

2

]由于AD=1故0A=cosθ，OD=sinθ，
如图∠BAX=

π

2

-θ，AB=1，故x_B=cosθ+cos（

π

2

-θ）=cosθ+sinθ，y_B=sin（

π

2

-θ）=cosθ，
故

OB

=（cosθ+sinθ，cosθ）
同理可求得C（sinθ，cosθ+sinθ），即

OC

=（sinθ，cosθ+sinθ），
∴

OB

•

OC

=（cosθ+sinθ，cosθ）•（sinθ，cosθ+sinθ）=1+sin2θ，
∵θ∈[0，

π

2

]，∴2θ∈[0，π]，sin2θ∈[0，1]，1+sin2θ∈[1，2]，
故

OB

•

OC

的取值范围是[1，2]，
故答案为：[1，2]，

点评：本题考查向量在几何中的应用，设角引入坐标是解题的关键，属中档题．