Question

（2013•临沂三模）如图放置的正方形ABCD，AB=1，A，D分别在x轴、y轴的正半轴（含原点）上滑动，则

OC

•

OB

的最大值是

2

．

Answer 1

分析：设∠DAO=θ，则∠BAx=

π

2

-θ，OA=cosθ，OD=sinθ，求得点B（cosθ+sinθ，cosθ），点C（sinθ，cosθ+sinθ），计算

OB

•

OC

等于1+sin2θ≤2，可得

OB

•

OC

的最大值．

解答：解：设∠DAO=θ，则∠BAx=

π

2

-θ，∴OA=cosθ，OD=sinθ，
∴点B（cosθ+sinθ，cosθ），过点C作y轴的垂线CE，E为垂足，则∠CDE=θ，
由此可得点C（sinθ，cosθ+sinθ）．
∴

OB

•

OC

=（cosθ+sinθ）sinθ+cosθ（cosθ+sinθ）=sin²θ+cos²θ+2sinθcosθ=1+sin2θ≤2，
故

OB

•

OC

的最大值为2，
故答案为 2．

点评：本题主要考查两个向量的数量积的运算，求得点C（sinθ，cosθ+sinθ），是解题的难点和关键，属于中档题．