Question

【题目】如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC=1，AB=，BC=，AA1=.

（1）求证：A1B⊥B1C；

（2）求二面角A1—B1C—B的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）根据ABC﹣A1B1C1是直三棱柱得到面ABB1A1⊥面ABC，从而证得AC⊥面ABB1A1，连接AB1，可得A1B⊥AB1，最后由三垂线定理得A1B⊥B1C；

（2）作BD⊥B1C，垂足为D，连接A1D，根据二面角平面角的定义可知∠A1DB为二面角A1﹣B1C﹣B的平面角，根据Rt△A1B1C≌Rt△B1BC，可求出此角，从而得到二面角A1﹣B1C﹣B的大小．

（1）由AC=1，AB=，BC=知AC2+AB2=BC2，

所以AC⊥AB.

因为ABC—A1B1C1是直三棱柱，面ABB1A1⊥面ABC，

所以AC⊥面ABB1A1.

由，知侧面ABB1A1是正方形，连结AB1， 所以A1B⊥AB1

由AC＝1，AB，BC知AC2+AB2＝BC2，

所以AC⊥AB．

因为ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，面ABB1A1⊥面ABC，

所以AC⊥面ABB1A1．

由，知侧面ABB1A1是正方形，连接AB1，

所以A1B⊥AB1．

由三垂线定理得A1B⊥B1C．

（2）作BD⊥B1C，垂足为D，连接A1D．由（I）知，A1B⊥B1C，则B1C⊥面A1BD，

于是B1C⊥A1D，则∠A1DB为二面角A1﹣B1C﹣B的平面角．

∵A1B1⊥A1C1，∴A1B1⊥A1C．

∵，

∴Rt△A1B1C≌Rt△B1BC，

∴，

∴，

故二面角A1﹣B1C﹣B的余弦值为．