Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90^o，AB=AC=a，AA₁=b，点E，F分别在棱BB₁，CC₁上，且BE=

1

3

BB1，C1F=

1

3

CC1．设λ=

b

a

．
（1）当λ=3时，求异面直线AE与A₁F所成角的大小；
（2）当平面AEF⊥平面A₁EF时，求λ的值．

Answer 1

分析：（1）本题适合建立空间坐标系得用向量法解决这个立体几何问题，建立空间坐标系，给出有关点的坐标，设出点F的坐标，求异面直线AE与A₁F的方向向量，利用利用夹角公式求异面直线AE与A₁F所成角的余弦值即可．
（2）分别同平面AEF的法向量为和平面A₁EF的一个法向量．再根据平面AEF⊥平面A₁EF，得出向量的数量积为0，即可求解得λ的值．

解答：解：建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz．
（1）设a=1，则AB=AC=1，AA₁=3，
各点的坐标为A（0，0，0），E（1，0，1），
A₁（0，0，3），F（0，1，2）．

AE

=(1，0，1)，

A1F

=(0，1，-1)．
∵|

AE

|=|

A1F

|=

2

，

AE

•

A1F

=-1，
∴cos?

AE

，

A1F

?=

AE • A1F

| AE || A1F |

=

-1

2 × 2

=-

1

2

．
∴向量

AE

和

A1F

所成的角为120^o，
∴异面直线AE与A₁F所成角为60°；（4分）

（2）∵E(a，0，

b

3

)，F(0，a，

2b

3

)，
∴

AE

=(a，0，

b

3

)，

AF

=(0，a，

2b

3

)．
设平面AEF的法向量为n₁（x，y，z），
则n1•

AE

=0，且n1•

AF

=0．
即ax+

bz

3

=0，且ay+

2bz

3

=0．
令z=1，则x=-

b

3a

，y=-

2b

3a

．
∴n1=(-

b

3a

，-

2b

3a

，1)=(-

λ

3

，-

2λ

3

，1)是平面AEF的一个法向量．（6分）
同理，n2=(

2b

3a

，

b

3a

，1)=(

2λ

3

，

λ

3

，1)是平面A₁EF的一个法向量．（8分）
∵平面AEF⊥平面A₁EF，∴n₁•n₂=0．∴-

2λ2

9

-

2λ2

9

+1=0．
解得，λ=

3

2

．
∴当平面AEF⊥平面A₁EF时，λ=

3

2

．

点评：考查用空间向量为工具解决立体几何问题，此类题关键是找清楚线的方向向量、面的法向量以及这些向量内积为0、共线等与立体几何中线面、面面位置关系的对应，考查空间想象能力和思维能力．