Question

在数列{a_n}与{b_n}中，a₁=1，b₁=4，数列{a_n}的前n项和S_n满足nS_n+1-（n+3）S_n=0，2a_n+1为b_n与b_n+1的等比中项，n∈N₊．
（1）求a₂，b₂的值；
（2）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式．

Answer 1

解：（1）∵数列{a_n}与{b_n}中，a₁=1，b₁=4，nS_n+1-（n+3）S_n=0，
∴a₁+a₂-4a₁=0，a₁=1，解得a₂=3．
∵2a_n+1为b_n与b_n+1的等比中项，
∴4a₂=b₂b₁，b₁=4，解得b₂=9．
（2）由题设nS_n+1-（n+3）S_n=0，a₁=1，b₁=4，及a₂=3，b₂=9，
进一步可得a₃=6，b₃=16，a₄=10，b₄=25，
由此猜想a_n=，b_n=（n+1）²，n∈N₊．
先证a_n=，n∈N₊．
当n=1时，a₁=，等式成立．
当n≥2时用数学归纳法证明如下：
当n=2时，a₂=，等式成立．
假设n=k时等式成立，即a_k=，k≥2．
由题设，kS_k+1=（k+3）S_k，①
（k-1）S_k=（k+2）S_k-1．②
①的两边分别减去②的两边，整理得ka_k+1=（k+2）a_k，
从而a_k+1=a_k=•
=．
这就是说，当n=k+1时等式也成立．
综上可知，等式a_n=对任何的n∈N₊都成立．
再证b_n=（n+1）²，n∈N₊，
当n=1时，b₁=4，∴等式成立．
假设n=k时，等式成立，即b_k=（k+1）²，
那么n=k+1时，
∵（2a_k+1）²=b_k•b_k+1，
∴[2•]²=（k+1）²•b_k+1．
∴b_k+1=（k+2）²=[（k+1）+1]²．
∴n=k+1时等式成立．
∴综上知，b_n=（n+1）²，n∈N₊．
分析：（1）由数列{a_n}与{b_n}中，a₁=1，b₁=4，nS_n+1-（n+3）S_n=0，知a₁+a₂-4a₁=0，a₁=1，由2a_n+1为b_n与b_n+1的等比中项，知4a₂=b₂b₁，b₁=4，由此能求出a₂，b₂的值．
（2）由题设nS_n+1-（n+3）S_n=0，a₁=1，b₁=4，及a₂=3，b₂=9，进一步可得a₃=6，b₃=16，a₄=10，b₄=25，由此猜想a_n=，b_n=（n+1）²，n∈N₊．先证a_n=，n∈N₊．再证b_n=（n+1）²，n∈N₊．
点评：本题考查数列中某一项的求法，考查数列的通项公式的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化，注意合理地进行猜想和数学归纳法的合理运用．