Question

已知c＞0，设P：函数y=c^x在R上单调递减，Q：当x∈[

1

2

，2]时，不等式5c＜x+

1

x

有解，若“P或Q”为真，“P且Q”为假，求c的取值范围．

Answer 1

分析：根据指数函数性质与不等式在定区间上的有解可求P、Q为真命题的C的范围；根据复合命题的真值表判定P、Q为一真一假，利用集合运算求解即可．

解答：解：∵函数y=c^x在R上单调递减，∴0＜C＜1；
又y=x+

1

x

在[

1

2

，1]上递减，在[1，2]上递增

∵x∈[

1

2

，2]，∴2≤x+

1

x

≤

5

2

∵5c＜x+

1

x

有解
∴5c＜

5

2

⇒c＜

1

2

 根据题意，p、q一真一假，

∵c＞0，∴

1

2

≤c＜1
综上c∈{c|

1

2

≤c＜1}

点评：本题结合指数函数的性质和不等式的有解等知识考查复合命题的真假判定方法，


注意端点值能否取到，在求解过程中易出错．