Question

如图，四边形与均为菱形，，且.

（1）求证：；

（2）求证：；

（3）求二面角的余弦值．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）连结FO.由四边形ABCD为菱形，得，且O为AC中点.

根据FA=FC，得到.. 

（Ⅱ）由四边形与均为菱形，

得到得出

平面， .

（Ⅲ）二面角A-FC-B的余弦值为.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）证明：设AC与BD相交于点O，连结FO.

因为四边形ABCD为菱形，所以，且O为AC中点.

又FA=FC，所以.             2分

因为，

所以.                               3分

（Ⅱ）证明：因为四边形与均为菱形，

所以

因为

所以

又，

所以平面

又

所以.              6分

（Ⅲ）解：因为四边形BDEF为菱形，且，所以为等边三角形．

因为为中点，所以由（Ⅰ）知，故

.

由两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系.

设AB=2．因为四边形ABCD为菱形，，则BD=2，所以OB=1，.

所以.      8分

所以.

设平面BFC的法向量为则有  所以

取，得.      12分

易知平面的法向量为.

由二面角A-FC-B是锐角，得

.

所以二面角A-FC-B的余弦值为.    14分

考点：本题主要考查立体几何中的平行关系、垂直关系，角的计算。

点评：典型题，立体几何题，是高考必考内容，往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离的计算。证明过程中，往往需要将立体几何问题转化成平面几何问题加以解答。本题解答，通过建立适当的空间直角坐标系，利用向量的坐标运算，简化了繁琐的证明过程，实现了“以算代证”，对计算能力要求较高。