Question

（2012•台州模拟）已知奇函数f（x）为定义在R上的可导函数，f（1）=0，当x＞0时，xf′（x）-f（x）＜0，则f（x）＞0的解集为（　　）

A．（-∞，-1）∪（1，+∞）

B．（-∞，-1）∪（0，1）

C．（-1，0）∪（0，1）

D．（-1，0）∪（1，+∞）

Answer 1

分析：由条件可得在（0，+∞）上，g（x）=

f(x)

x

为减函数．由g（-x）=g（x）可得函数g（x）为定义域上的偶函数，数形结合可得不等式等价于 x•g（x）＞0，等价于

x＞0 g(x)＞0

，或

x＜0 g(x)＜0

，由此求得不等式的解集．

解答：解：由题意可得f（-1）=-f（1）=0，设g（x）=

f(x)

x

，则g（x）的导数为g′（x）=

xf′(x)-f(x)

x2

．
∵当x＞0时总有xf′（x）＜f（x）成立，即当x＞0时，g′（x）恒小于0，
∴当x＞0时，函数g（x）=

f(x)

x

为减函数．
又∵g（-x）=

f(-x)

-x

=

-f(x)

-x

=g（x），
∴函数g（x）为定义域上的偶函数．
又∵g（1）=

f(1)

1

=0，
∴函数g（x）的图象性质类似如图：数形结合可得
不等式f（x）＞0等价于 x•g（x）＞0等价于

x＞0 g(x)＞0

，或

x＜0 g(x)＜0

，解得 0＜x＜1，或x＜-1，
故选 B．

点评：本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，并由函数的奇偶性和单调性解不等式，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．