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投掷A,B,C三个纪念币,正面向上的概率如下表所示(0<a<1).

将这三个纪念币同时投掷一次,设ξ表示出现正面向上的个数.
(1)求ξ的分布列及数学期望;
(2)在概率P(ξ=i)(i=0,1,2,3)中,若P(ξ=1)的值最大,求a的取值范围.
(1)由题意知ξ个正面向上,3-ξ个背面向上.
ξ的可能取值为0,1,2,3.
根据独立重复试验的概率公式得到变量的分布列,
P(ξ=0)=
C01
(1-
1
2
)
C02
(1-a)2=
1
2
(1-a)2

P(ξ=1)=
C11
1
2
C02
(1-a)2+
C01
(1-
1
2
)
C12
a(1-a)=
1
2
(1-a2)
P(ξ=2)=
C11
1
2
C12
a(1-a)+
C01
(1-
1
2
)
C22
a2=
1
2
(2a-a2)

P(ξ=3)=
C11
1
2
C22
a2=
a2
2

∴ξ的分布列为

∴ξ的数学期望为Eξ=0×
1
2
(1-a)2+1×
1
2
(1-a2)+2×
1
2
(2a-a2)+3×
a2
2
=
4a+1
2

(2)P(ξ=1)-P(ξ=0)=
1
2
[(1-a2)-(1-a)2]=a(1-a)

P(ξ=1)-P(ξ=2)=
1
2
[(1-a2)-(2a-a2)]=
1-2a
2

P(ξ=1)-P(ξ=3)=
1
2
[(1-a2)-a2]=
1-2a2
2

a(1-a)≥0
1-2a
2
≥0
1-2a2
2
≥0
和0<a<1,
0<a≤
1
2

即a的取值范围是(0,
1
2
]
练习册系列答案
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甲、乙两人参加一次英语口语考试,已知在备选的10道试题中,甲能答对其中的6题,乙能答对其中的8题.规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试,至少答对2题才算合格.
(Ⅰ)求甲、乙两人考试均合格的概率;
(Ⅱ)求甲答对试题数的概率分布.

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为备战2012奥运会,甲、乙两位射击选手进行了强化训练.现分别从他们的强化训练期间的若干次平均成绩中随机抽取8次,记录如下:
甲:8.3,9.0,7.9,7.8,9.4,8.9,8.4,8.3;
乙:9.2,9.5,8.0,7.5,8.2,8.1,9.0,8.5.
(1)画出甲、乙两位选手成绩的茎叶图;(用茎表示成绩的整数部分,用叶表示成绩的小数部分)
(2)现要从中选派一人参加奥运会,从平均成绩和发挥稳定性角度考虑,你认为派哪位选手参加合理?简单说明理由.
(3)若将频率视为概率,对选手乙在今后的三次比赛成绩进行预测,记这三次成绩中不低于8.5分的次数为ξ,求ξ的分布列及均值Eξ.

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现有甲、乙两个靶,某射手进行射击训练,每次射击击中甲靶的概率是p1,每次射击击中乙靶的概率是p2,其中p1>p2,已知该射手先后向甲、乙两靶各射击一次,两次都能击中与两次都不能击中的概率分别为
8
15
1
15
.该射手在进行射击训练时各次射击结果互不影响.
(Ⅰ)求p1,p2的值;
(Ⅱ)假设该射手射击乙靶三次,每次射击击中目标得1分,未击中目标得0分.在三次射击中,若有两次连续击中,而另外一次未击中,则额外加1分;若三次全击中,则额外加3分.记η为该射手射击三次后的总的分数,求η的分布列;
(Ⅲ)某研究小组发现,该射手在n次射击中,击中目标的次数X服从二项分布.且射击甲靶10次最有可能击中8次,射击乙靶10次最有可能击中7次.试探究:如果X:B(n,p),其中0<p<1,求使P(X=k)(0≤k≤n)最大自然数k.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

一个暗箱中有形状和大小完全相同的3只白球与2只黑球,每次从中取出一只球,取到白球得2分,取到黑球得3分.甲从暗箱中有放回地依次取出3只球.
(1)写出甲总得分ξ的分布列;
(2)求甲总得分ξ的期望E(ξ).

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汽车租赁公司为了调查A,B两种车型的出租情况,现随机抽取了这两种车型各100辆汽车,分别统计了每辆车某个星期内的出租天数,统计数据如下表:
A型车
出租天数1234567
车辆数51030351532
B型车
出租天数1234567
车辆数1420201615105
( I)从出租天数为3天的汽车(仅限A,B两种车型)中随机抽取一辆,估计这辆汽车恰好是A型车的概率;
(Ⅱ)根据这个星期的统计数据,估计该公司一辆A型车,一辆B型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率;
(Ⅲ)如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同,该公司需要从A,B两种车型中购买一辆,请你根据所学的统计知识,给出建议应该购买哪一种车型,并说明你的理由.

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A.B.C.D.

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设随机变量的概率分布为
ε
0
1
2
P


1-
 
则ξ的数学期望的最小值是________.

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