Question

已知定义域为D的函数f（x），如果对任意x∈D，存在正数K，都有|f（x）|≤K|x|成立，那么称函数f（x）是D上的“倍约束函数”，已知下列函数：①f（x）=2x；②f（x）=2sin(x+

π

4

)；③f（x）=

x-1

；④f（x）=

x

x2-x+1

，其中是“倍约束函数的是

 

．

Answer 1

分析：此题考查的是新定义问题与恒成立问题相结合的综合类问题．在解答时可以逐一排查．对①f（x）=2x，易知存在K=2符合题意；对②特值即可解答；对③先假设存在K符合题意不等式，即可通过游离参数的方法找适合的k，从而获得解答；对④有于分母能取到最小值故倒数能取到最大值，从而易找到正数K符合定义．

解答：解：∵对任意x∈D，存在正数K，都有|f（x）|≤K|x|成立∴对任意x∈D，存在正数K，都有K≥

|f(x)|

|x|

成立
∴对①f（x）=2x，易知存在K=2符合题意；
对②取特值如令x=

π

4

，则

|f(x)|

|x|

=

2

|x|

，不存在K≥

2

|x|

恒成立；
对③先假设存在K符合题意，即可得：存在正数K有：

x-1

≤K|x|，通过游离参数可知K≥

x-1

|x|

=

x-1 x2

=

- 1 x2 + 1 x

又

- 1 x2 + 1 x

≤

1

2

，从而存在正数k符合题意；
对④有于分母能取到最小值

3

4

故倒数能取到最大值

4

3

，从而易找到正数K=

4

3

符合定义．
故答案为：①③④．

点评：此题考查的是新定义问题与恒成立问题相结合的综合类问题．正确理解题目中给的新定义是解决问题的关健．同时要掌握恒成立问题的解题方法．