Question

【题目】已知函数 .
（1）若 ，求函数 的极值；
（2）设函数 ，求函数 的单调区间；
（3）若在区间 上不存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围.

Answer 1

【答案】
（1）解：当 时， ，列极值分布表

在（0,1）上递减，在 上递增，∴ 的极小值为 ；

（2）解：

①当 时， 在 上递增；

②当 时， ，

∴ 在 上递减，在 上递增；

（3）解：先解区间 上存在一点 ,使得 成立

在 上有解 当 时，

由（II）知

①当 时， 在 上递增， ∴

②当 时， 在 上递减，在 上递增

当 时， 在 上递增， 无解

当 时， 在 上递减

，∴ ；

当 时， 在 上递减，在 上递增

令 ，则

在 递减， ， 无解，

即 无解；

综上：存在一点 ,使得 成立，实数 的取值范围为： 或 .

所以不存在一点 ，使得 成立，实数 的取值范围为 .

【解析】（1）利用求导研究函数的极值.
（2）利用导函数研究函数的单调区间，对于有参数的函数，要对参数分类讨论.
（3）对于不存在问题，用正难则反的原则，研究存在一点x0,使不等式成立时参数a的范围，再求补集.