Question

【题目】已知正△ABC三个顶点都在半径为2的球面上，球心O到平面ABC的距离为1，点E是线段AB的中点，过点E作球O的截面，则截面面积的最小值是 ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：设正△ABC的中心为O1 ， 连结O1O、O1C、O1E、OE， ∵O1是正△ABC的中心，A、B、C三点都在球面上，
∴O1O⊥平面ABC，结合O1C平面ABC，可得O1O⊥O1C，
∵球的半径R=2，球心O到平面ABC的距离为1，得O1O=1，
∴Rt△O1OC中，O1C= = ．
又∵E为AB的中点，∴正△ABC中，O1E= O1C= ．
∴Rt△OO1E中，OE= = = ．
∵过E作球O的截面，当截面与OE垂直时，截面圆的半径最小，
∴当截面与OE垂直时，截面圆的面积有最小值．
此时截面圆的半径r= = = ，
可得截面面积为S=πr2= ．
所以答案是： ．