【题目】如图,棱锥的地面
是矩形,
平面
,
,
.
(1)求证: 平面
;
(2)求二面角的大小;
(3)求点到平面
的距离.
【答案】(1)见解析;(2);(3)
.
【解析】
(1)先证明为正方形,可得
,由
平面
,
平面
,可得
,利用线面垂直的判定定理可得结果;(2)以
为
轴建立空间直角坐标系,根据向量垂直数量积为零,列方程组求出平面
的法向量,结合
为平面
的法向量,利用空间向量夹角余弦公式求出两个向量的夹角余弦,进而转化为二面角
的平面角即可;(3)求出平面
的法向量,再求出平面的斜线
所在的向量
,然后求出
在法向量上的射影即可得到点到平面的距离.
(1)解法一:在中,
,
,
∴,∴
为正方形,
因此,
∵平面
,
平面
,
∴.又∵
,
∴平面
.
解法二:以为
轴建立如图所示的空间直角坐标系,
则,
,
,
在中,
,
,
∴,∴
,
,
∴,
,
.
∵,
,
即,
.又
,
∴平面
.
(2)解法一:由平面
,
知为
在平面
上的射影.
又,∴
,
∴为二面角
的平面角.
又∵,∴
.
解法二:由1题得,
.
设平面的法向量为
,则
,
,
即,∴
,
故平面的法向量可取为
,
∵平面
,
∴为平面
的法向量.
设二面角的大小为
,
依题意可得,
∴.
(3)解法一:∵,
∴,
设到平面
的距离为
,
由,
有,
得.
解法二:由1题得,
,
设平面的法向量为
,
则,
,
即,
∴.
故平面的法向量可取为
.
∵,
∴到平面
的距离为
.
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【题目】如图,D、E分别是△ABC的边BC的三等分点,设 =m,
=n,∠BAC=
.
(1)用 、
分别表示
,
;
(2)若
=15,|
|=3
,求△ABC的面积.
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【题目】已知函数在区间
上有最大值4 和最小值1,设
.
(1)求的值;
(2)若不等式在区间
上有解,求实数
的取值范围;
(3)若有三个不同的实数解,求实数
的取值范围.
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【题目】已知抛物线x2=2py和 ﹣y2=1的公切线PQ(P是PQ与抛物线的切点,未必是PQ与双曲线的切点)与抛物线的准线交于Q,F(0,
),若
|PQ|=
|PF|,则抛物线的方程是( )
A.x2=4y
B.x2=2 y
C.x2=6y
D.x2=2 y
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【题目】如图,某大型水上乐园内有一块矩形场地米,
米,以
为直径的半圆
和半圆
(半圆在矩形
内部)为两个半圆形水上主题乐园,
都建有围墙,游客只能从线段
处进出该主题乐园.为了进一步提高经济效益,水上乐园管理部门决定沿着
修建不锈钢护栏,沿着线段
修建该主题乐园大门并设置检票口,其中
分别为
上的动点,
,且线段
与线段
在圆心
和
连线的同侧.已知弧线部分的修建费用为
元/米,直线部门的平均修建费用为
元/米.
(1)若米,则检票等候区域(其中阴影部分)面积为多少平方米?
(2)试确定点的位置,使得修建费用最低.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】随着网络营销和电子商务的兴起,人们的购物方式更具多样化,某调查机构随机抽取10名购物者进行采访,5名男性购物者中有3名倾向于选择网购,2名倾向于选择实体店,5名女性购物者中有2名倾向于选择网购,3名倾向于选择实体店.
(1)若从10名购物者中随机抽取2名,其中男、女各一名,求至少1名倾向于选择实体店的概率;
(2)若从这10名购物者中随机抽取3名,设X表示抽到倾向于选择网购的男性购物者的人数,求X的分布列和数学期望.
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【题目】已知正△ABC三个顶点都在半径为2的球面上,球心O到平面ABC的距离为1,点E是线段AB的中点,过点E作球O的截面,则截面面积的最小值是 .
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【题目】设函数f(x)=|x﹣4|,g(x)=|2x+1|.
(1)解不等式f(x)<g(x);
(2)若2f(x)+g(x)>ax对任意的实数x恒成立,求a的取值范围.
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