【题目】已知集合A={x|3≤≤27},B={x|>1}.
(1)分别求A∩B,()∪A;
(2)已知集合C={x|1<x<a},若CA,求实数a的取值范围.
【答案】(1)A∩B={x|2<x≤3},(CRB)∪A={x|x≤3};(2)a的取值范围是(﹣∞,3]
【解析】
试题分析:(1)解指数不等式我们可以求出集合A,解对数不等式,我们可以求集合B,再由集合补集的运算规则,求出CRB,进而由集合交集和并集的运算法则,即可求出A∩B,(CRB)∪A;
(2)由(1)中集合A,结合集合C={x|1<x<a},我们分C=和C≠两种情况,分别求出对应的实数a的取值,最后综合讨论结果,即可得到答案.
解:(1)A={x|3≤3x≤27}={x|1≤x≤3}
B={x|log2x>1}={x|x>2}
A∩B={x|2<x≤3}
(CRB)∪A={x|x≤2}∪{x|1≤x≤3}={x|x≤3}
(2)当a≤1时,C=,
此时CA
当a>1时,
CA,则1<a≤3
综上所述,a的取值范围是(﹣∞,3]
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【题目】已知正△ABC三个顶点都在半径为2的球面上,球心O到平面ABC的距离为1,点E是线段AB的中点,过点E作球O的截面,则截面面积的最小值是 .
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【题目】设函数f(x)=|x﹣4|,g(x)=|2x+1|.
(1)解不等式f(x)<g(x);
(2)若2f(x)+g(x)>ax对任意的实数x恒成立,求a的取值范围.
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【题目】已知椭圆的两焦点为,,离心率.
(1)求此椭圆的方程;
(2)设直线:,若与此椭圆相交于,两点,且等于椭圆的短轴长,求的值;
(3)以此椭圆的上顶点为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形,这样的直角三角形是否存在?若存在,请说明有几个;若不存在,请说明理由.
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【题目】某经销商计划销售一款新型的空气净化器,经市场调研发现以下规律:当每台净化器的利润为 x (单位:元, x 0 )时,销售量 q(x) (单位:百台)与 x 的关系满足:若 x 不超过 20 , 则 ;若 x 大于或等于180 ,则销售量为零;当 20 ≤ x ≤180 时,( a , b 为实常数).
(Ⅰ)求函数 q(x) 的表达式;
(Ⅱ)当 x 为多少时,总利润(单位:元)取得最大值,并求出该最大值.
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【题目】已知函数f(x)=|x﹣1|﹣|x+2|. (Ⅰ)求不等式﹣2<f(x)<0的解集A;
(Ⅱ)若m,n∈A,证明:|1﹣4mn|>2|m﹣n|.
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【题目】函数f(x)=xln(ax+1)(a≠0).
(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;
(Ⅱ)若a>0且满足:对x1 , x2∈[﹣1,1],都有|f(x1)﹣f(x2)|≤ln3﹣ln2,试比较ea﹣1与 的大小,并证明.
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【题目】在某校矩形的航天知识竞赛中,参与竞赛的文科生与理科生人数之比为1:3,且成绩分布在范围内,规定分数在80以上(含80)的同学获奖,按文理科用分层抽样的放发抽取200人的成绩作为样本,得到成绩的频率分布直方图.
(Ⅰ)填写下面的列联表,能否有超过95%的把握认为“获奖与学生的文理科有关”;
(Ⅱ)将上述调查所得的频率视为概率,现从参赛学生中,任意抽取3名学生,记“获奖”学生人数为,求的分布列及数学期望.
附表及公式:,其中
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