【题目】已知函数f(x)=|x﹣1|﹣|x+2|. (Ⅰ)求不等式﹣2<f(x)<0的解集A;
(Ⅱ)若m,n∈A,证明:|1﹣4mn|>2|m﹣n|.
【答案】解:(Ⅰ)依题意, , 由不等式﹣2<f(x)<0,可得﹣2<﹣2x﹣1<0,解得 ,故 .
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知, ;
因为|1﹣4mn|2﹣4|m﹣n|2=(1﹣8mn+16m2n2)﹣4(m2﹣2mn+n2)=(4m2﹣1)(4n2﹣1)>0,
故|1﹣4mn|2>4|m﹣n|2 , 故|1﹣4mn|>2|m﹣n|
【解析】(Ⅰ)根据f(x)的解析式,求得不等式﹣2<f(x)<0的解集A.(Ⅱ)由(Ⅰ)可知, ,故要证明|1﹣4mn|>2|m﹣n|,只要证明左边的平方大于右边的平方即可.
【考点精析】本题主要考查了绝对值不等式的解法的相关知识点,需要掌握含绝对值不等式的解法:定义法、平方法、同解变形法,其同解定理有;规律:关键是去掉绝对值的符号才能正确解答此题.
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【题目】已知函数f(x)=|x+2|+|x+a|(a∈R).
(Ⅰ)若a=5,求函数f(x)的最小值,并写出此时x的取值集合;
(Ⅱ)若f(x)≥3恒成立,求a的取值范围.
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【题目】已知集合A={x|3≤≤27},B={x|>1}.
(1)分别求A∩B,()∪A;
(2)已知集合C={x|1<x<a},若CA,求实数a的取值范围.
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【题目】已知椭圆C: (a>b>0)的离心率为 ,且过点M(4,1). (Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)若直线l:y=x+m(m≠﹣3)与椭圆C交于P,Q两点,记直线MP,MQ的斜率分别为k1 , k2 , 试探究k1+k2是否为定值.若是,请求出该定值;若不是,请说明理由.
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【题目】函数的f(x)= sin(ωx+φ)(ω>0,﹣ )图象关于直线x= 对称,且图象上相邻两个最高点的距离为π,若 (0<α<π),则 =( )
A.
B.
C.
D.
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【题目】已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R)满足:对任意实数x,都有f(x)≥x,且当x∈(1,3)时,有f(x)≤ (x+2)2成立.
(1)证明:f(2)=2;
(2)若f(-2)=0,求f(x)的表达式;
(3)设g(x)=f(x)-x,x∈[0,+∞),若g(x)图象上的点都位于直线y=的上方,求实数m的取值范围.
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【题目】如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PD⊥平面ABCD,底面ABCD是菱形,∠BAD=60°,AB=2,PD= ,O为AC与BD的交点,E为棱PB上一点.
(Ⅰ)证明:平面EAC⊥平面PBD;
(Ⅱ)若PD∥平面EAC,求三棱锥P﹣EAD的体积.
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【题目】现对某市工薪阶层关于“楼市限购令”的态度进行调查,随机抽调了50人,他们月收入的频数分布及对“楼市限购令”赞成人数如下表.
月收入(单位百元) | [15,25 | [25,35 | [35,45 | [45,55 | [55,65 | [65,75 |
频数 | 5 | 10 | 15 | 10 | 5 | 5 |
赞成人数 | 4 | 8 | 12 | 5 | 2 | 1 |
(1)由以上统计数据求下面22列联表中的的值,并问是否有99%的把握认为“月收入以5500为分界点对“楼市限购令” 的态度有差异;
月收入低于55百元的人数 | 月收入不低于55百元的人数 | 合计 | |
赞成 | a | b | |
不赞成 | c | d | |
合计 | 50 |
(2)若对在[55,65)内的被调查者中随机选取两人进行追踪调查,记选中的2人中不赞成“楼市限购令”的人数为,求的概率.
附:,
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |
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