Question

【题目】已知椭圆C： （a＞b＞0）的离心率为 ，且过点M（4，1）． （Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线l：y=x+m（m≠﹣3）与椭圆C交于P，Q两点，记直线MP，MQ的斜率分别为k1 ， k2 ， 试探究k1+k2是否为定值．若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）依题意，e= = = ，则a2=4b2 ， 由椭圆过点M（4，1），代入椭圆方程： ，解得：b2=5，a2=20，
∴椭圆的标准方程： ；
（Ⅱ）k1+k2为定值0，下面给出证明，
设P（x1 ， y1），P（x2 ， y2），
则 ，整理得：5x2+8mx+2m2﹣20=0，
△=（8m）2﹣4×5×（2m2﹣20）＞0，解得：﹣5＜m＜5，且m≠﹣3，
则x1+x2=﹣ ，x1x2= ，
则k1+k2= + = ，
则（y1﹣1）（x2﹣4）+（y2﹣1）（x1﹣4）=（x1+m﹣1）（x2﹣4）+（x2+m﹣1）（x1﹣4），
=2x1x2+（m﹣5）（x1+x2）﹣8（m﹣1），
=2× +（m﹣5）（﹣ ）﹣8（m﹣1），
=0，
∴k1+k2=0，
∴k1+k2为定值0
【解析】（Ⅰ）由椭圆的离心率公式，求得a2=4b2 ， 将M代入椭圆方程，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；（Ⅱ）将直线l：代入椭圆方程，利用韦达定理及直线的斜率公式，即可取得k1+k2=0．