Question

【题目】已知边长为2的菱形ABCD中，∠BCD=60°，E为DC的中点，如图1所示，将△BCE沿BE折起到△BPE的位置，且平面BPE⊥平面ABED，如图2所示．
（Ⅰ）求证：△PAB为直角三角形；
（Ⅱ）求二面角A﹣PD﹣E的余弦值．

Answer 1

【答案】证明：（Ⅰ）∵边长为2的菱形ABCD中，∠BCD=60°，E为DC的中点，如图1所示， ∴BE⊥DC，AB∥CD，∴AB⊥BE，∴∠ABE=90°，
∵将△BCE沿BE折起到△BPE的位置，且平面BPE⊥平面ABED，如图2所示．
在翻折过程中，∠ABE=90°不变，
∴在△ABP中，∠ABP=90°，
∴△PAB为直角三角形．
解：（Ⅱ）由（Ⅰ）得∠BED=∠ABE=90°，∴DE⊥BE，
以E为原点，ED为x轴，EB为y轴，EP为z轴，建立空间直角坐标系，
A（2， ，0），P（0，0，1），D（1，0，0），E（0，0，0），
=（﹣1，0，1）， =（1， ，0）， =（0，0，1）， =（1，0，0），
设平面ADP的法向量 =（x，y，z），
则 ，取x= ，得 =（ ），
平面PDE的法向量 =（1，0，0），
设二面角A﹣PD﹣E的平面角为θ，
则cosθ= = = ，
∴二面角A﹣PD﹣E的余弦值为 ．

【解析】（Ⅰ）推导出BE⊥DC，AB∥CD，从而AB⊥BE，进而∠ABE=90°，将△BCE沿BE折起到△BPE的位置，且平面BPE⊥平面ABED，在翻折过程中，∠ABE=90°不变，由此能证明△PAB为直角三角形．（Ⅱ）以E为原点，ED为x轴，EB为y轴，EP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A﹣PD﹣E的余弦值．
【考点精析】利用直线与平面垂直的性质对题目进行判断即可得到答案，需要熟知垂直于同一个平面的两条直线平行．