Question

【题目】已知函数 ．
（1）当m=1时，求证：对x∈[0，+∞）时，f（x）≥0；
（2）当m≤1时，讨论函数f（x）零点的个数．

Answer 1

【答案】
（1）证明：当m=1时， ，则f'（x）=ex﹣x﹣1，

令g（x）=ex﹣x﹣1，则g'（x）=ex﹣1，当x≥0时，ex﹣1≥0，即g'（x）≥0，

所以函数f'（x）=ex﹣x﹣1在[0，+∞）上为增函数，

即当x≥0时，f'（x）≥f'（0），所以当x≥0时，f'（x）≥0恒成立，

所以函数 ，在[0，+∞）上为增函数，又因为f（0）=0，

所以当m=1时，对x∈[0，+∞），f（x）≥0恒成立

（2）解：由（1）知，当x≤0时，ex﹣1≤0，所以g'（x）≤0，所以函数f'（x）=ex﹣x﹣1的减区间为（﹣∞，0]，增区间为[0，+∞）．所以f'（x）min=f'（0）=0，所以对x∈R，f'（x）≥0，即ex≥x+1．

①当x≥﹣1时，x+1≥0，又m≤1，∴m（x+1）≤x+1，∴ex﹣m（x+1）≥ex﹣（x+1）≥0，即f'（x）≥0，所以当x≥﹣1时，函数f（x）为增函数，又f（0）=0，所以当x＞0时，f（x）＞0，当﹣1≤x＜0时，f（x）＜0，所以函数f（x）在区间[﹣1，+∞）上有且仅有一个零点，且为0．

②当x＜﹣1时，（ⅰ）当0≤m≤1时，﹣m（x+1）≥0，ex＞0，所以f'（x）=ex﹣m（x+1）＞0，

所以函数f（x）在（﹣∞，﹣1）上递增，所以f（x）＜f（﹣1），且 ，

故0≤m≤1时，函数y=f（x）在区间（﹣∞，﹣1）上无零点．

（ⅱ）当m＜0时，f'（x）=ex﹣mx﹣m，令h（x）=ex﹣mx﹣m，则h'（x）=ex﹣m＞0，

所以函数f'（x）=ex﹣mx﹣m在（﹣∞，﹣1）上单调递增，f'（﹣1）=e﹣1＞0，

当 时， ，又曲线f'（x）在区间 上不间断，

所以x0∈ ，使f'（x0）=0，

故当x∈（x0，﹣1）时，0=f'（x0）＜f'（x）＜f'（﹣1）=e﹣1，

当x∈（﹣∞，x0）时，f'（x）＜f'（x0）=0，

所以函数 的减区间为（﹣∞，x0），增区间为（x0，﹣1），

又 ，所以对x∈[x0，﹣1），f（x）＜0，

又当 时， ，∴f（x）＞0，

又f（x0）＜0，曲线 在区间 上不间断．

所以x1∈（﹣∞，x0），且唯一实数x1，使得f（x1）=0，

综上，当0≤m≤1时，函数y=f（x）有且仅有一个零点；当m＜0时，函数y=f（x）有个两零点

【解析】（1）当m=1时， ，则f'（x）=ex﹣x﹣1，令g（x）=ex﹣x﹣1，利用导数研究其单调性极值与最值，可得函数f'（x）=ex﹣x﹣1在[0，+∞）上为增函数，即当x≥0时，f'（x）≥f'（0）=0，可得函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，即可证明．（2）由（1）知，当x≤0时，ex﹣1≤0，所以g'（x）≤0，可得ex≥x+1．①当x≥﹣1时，x+1≥0，又m≤1，m（x+1）≤x+1，可得ex﹣m（x+1）≥0，即f'（x）≥0，可得：函数f（x）在区间[﹣1，+∞）上有且仅有一个零点，且为0．②当x＜﹣1时，（ⅰ）当0≤m≤1时，﹣m（x+1）≥0，ex＞0，可得f'（x）=ex﹣m（x+1）＞0，函数f（x）在（﹣∞，﹣1）上递增，函数y=f（x）在区间（﹣∞，﹣1）上无零点． （ⅱ）当m＜0时，f'（x）=ex﹣mx﹣m，令h（x）=ex﹣mx﹣m，则h'（x）＞0，函数f'（x）=ex﹣mx﹣m在（﹣∞，﹣1）上单调递增，f'（﹣1）=e﹣1＞0，可得函数存在两个零点．