Question

【题目】已知动点P（x，y）与一定点F（1，0）的距离和它到一定直线l：x=4的距离之比为 ．
（1）求动点P（x，y）的轨迹C的方程；
（2）己知直线l'：x=my+1交轨迹C于A、B两点，过点A、B分别作直线l的垂线，垂足依次为点D、E．连接AE、BD，试探索当m变化时，直线AE、BD是否相交于一定点N？若交于定点N，请求出定点的坐标，并给予证明；否则说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意得 = ，

即2 =丨x﹣4丨，

两边平方得：4x2﹣8x+4+4y2=x2﹣8x+16．整理得： ．

∴动点P（x，y）的轨迹C的方程为椭圆

（2）解：当m变化时，直线AE、BD相交于一定点N（ ，0）．

证明：如图，

当m=0时，联立直线x=1与椭圆 ，

得A（1， ）、B（1，﹣ ）、D（4， ）、E（4，﹣ ），

过A、B作直线x=4的垂线，得两垂足D（4， ）、E（4，﹣ ），

由直线方程的两点式得：直线AE的方程为：2x+2y﹣5=0，直线BD的方程为：2x﹣2y﹣5=0，

方程联立解得x= ，y=0，

直线AE、BD相交于一点（ ，0）．

假设直线AE、BD相交于一定点N（ ，0）．

证明：设A（my1+1，y1），B（my2+1，y2），则D（4，y1），E（4，y2），

由 ，消去x，并整理得（3m2+4）y2+6my﹣9=0，

△=36m2﹣4×（3m2+4）×（﹣9）=144m2+144＞0＞0，

由韦达定理得y1+y2=﹣ ，y1y2=﹣ ．

由 =（my1﹣ ，y1）， =（ ，y2），

则（my1﹣ ）y2﹣ y1=my1y2﹣ （y1+y2）=m×（﹣ ）﹣ ×（﹣ ）=0

所以， ∥ ，所以A、N、E三点共线，

同理可证B、N、D三点共线，所以直线AE、BD相交于一定点N（ ，0）

【解析】（1）直接利用求轨迹方程的步骤，由题意列出满足动点P（x，y）到定点F（1，0）的距离和它到一定直线l：x=4的距离之比为 的等式，整理后即可得到点P的轨迹；（2）如果存在满足条件的定点N，则该点对于m=0的直线也成立，所以先取m=0，与椭圆联立后解出A、B的坐标，同时求出D、E的坐标，由两点式写出AE、BD所在的直线方程，两直线联立求出N的坐标，然后证明该点对于m取其它值时也满足直线AE、BD是相交于定点N，方法是用共线向量基本定理．