Question

11．已知在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=3a_n+1，求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 把递推关系式化简得出a_n+1$+\frac{1}{2}$=3（a_n$+\frac{1}{2}$），即$\frac{{a}_{n+1}+\frac{1}{2}}{{a}_{n}+\frac{1}{2}}$=3=常数．构造等比数列，运用等比数列求解a_n$+\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$×3^n-2=$\frac{1}{2}×{3}^{n}$，即可得出a_n．

解答 解：∵a_n+1=3a_n+1，
∴a_n+1$+\frac{1}{2}$=3（a_n$+\frac{1}{2}$），
即$\frac{{a}_{n+1}+\frac{1}{2}}{{a}_{n}+\frac{1}{2}}$=3=常数．
∴数列{a_n$+\frac{1}{2}$}是等比数列，首项为1$+\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，公比为3，
∴a_n$+\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$×3^n-2=$\frac{1}{2}×{3}^{n}$，
故数列{a_n}的通项公式a_n=$\frac{1}{2}×{3}^{n}$$-\frac{1}{2}$

点评 本题考查了等比数列的通项公式，考查了变形能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题