Question

6．函数f（x）=lnx-x-a有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（-∞，-1）．

Answer 1

分析 令g（x）=lnx，h（x）=x+a，将零点问题转化为交点问题，分别画出图象，先求出直线y=x+a，与曲线y=lnx相切时a的值，即而到到图象有两个交点时a的范围．

解答 解：函数f（x）=lnx-x-a有两个不同的零点，
∴f（x）=lnx-x-a=0有两个不同的根，
∴lnx=x+a，
令g（x）=lnx，h（x）=x+a，
在同一坐标系中画出两个函数的图象，如图，
当直线y=x+a，与曲线y=lnx相切时，设切点为（x₀，x₀+a），
∴k=1=g′（x₀）=$\frac{1}{{x}_{0}}$
∴x₀=1，
∴g（x₀）=0=1+a，
∴a=-1，
故当a＜-1函数g（x），h（x）的图象有两个不同的交点，
实数a的取值范围为（-∞，-1）．
故答案为：（-∞，-1）．

点评 本题考察了函数的零点问题，渗透了转化思想，关键是求出直线和曲线相切时参数的值，考查数形结合思想，属于中档题．