Question

1．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（b+c）²-a²=tan75°bc
（Ⅰ）求cosA的值；
（Ⅱ）若a=2，求$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$的取值范围；
（Ⅲ）若b=2，求$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知得到tan75°，得到a²=b²+c²-$\sqrt{3}$bc，利用余弦定理解得；
（Ⅱ）由a=2，A=30°，得△ABC外接圆直径2R=4，且点A在优弧上任意运动．设有向线段BD长为x，则$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=2x，由x范围求得；
（Ⅲ）设线段AC中点为D，由图可知|BD|∈[$\frac{1}{2}$，+∞）．而$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$用BD表示得到所求．

解答 解：（Ⅰ）因为：tan75°=tan（45°+30°）=$\frac{1+\frac{\sqrt{3}}{3}}{1-\frac{\sqrt{3}}{3}}=2+\sqrt{3}$，
所以：（b+c）²-a²=tan75°bc，展开后得：a²=b²+c²-$\sqrt{3}$bc
故cosA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即A=30°…（4分）
（II）由a=2，A=30°，得△ABC外接圆直径2R=4，且点A在优弧上任意运动．
由图：AD⊥BC于点D，设有向线段BD长为x，则$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=2x，
由图可知：x∈[-1，3]，故$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$∈[-2，6]…（8分）
（III）设线段AC中点为D，AC=2，由图可知|BD|∈[$\sqrt{3}$，+∞）．
由：$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=$\frac{1}{4}$[（$\overrightarrow{BA}$+$\overrightarrow{BC}$）²-（$\overrightarrow{BA}$-$\overrightarrow{BC}$）²]=|BD|²-1，
所以：$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$∈[2，+∞）．…（12分）

点评 本题考查了余弦定理的运用、向量的数量积范围等知识，属于中档题．