Question

11．将一个长宽分别为2米和2k米（0＜k＜1）的铁皮的四角切去相同的正方形，然后折成一个无盖的长方体的盒子，记切去的正方形边长为x（0＜x＜k），
（1）若$k=\frac{5}{8}$，求这个长方体盒子的容积的最大时的x的值；
（2）若该长方体的盒子的对角线长有最小值，求k的范围．

Answer 1

分析 （1）化简V=4（1-x）（k-x）x=4[x³-（1+k）x²+kx]，x∈（0，k），从而求导${V^/}=4[3{x^2}-2（1+k）x+k]=12{x^2}-13x+\frac{5}{2}=0$，$x∈（0，\frac{5}{8}）$；从而确定函数的最大值即可；
（2）记长方体的盒子的对角线长度为l米，从而可得$l=\sqrt{{{（2-2x）}^2}+{{（2k-2x）}^2}+{x^2}}=\sqrt{9{x^2}-8（1+k）x+4（1+{k^2}）}x∈（0，k）$，从而可得$\frac{4（1+k）}{9}∈（0，k）$，
从而解得．

解答 解：（1）V=4（1-x）（k-x）x=4[x³-（1+k）x²+kx]，x∈（0，k），
${V^/}=4[3{x^2}-2（1+k）x+k]=12{x^2}-13x+\frac{5}{2}=0$，$x∈（0，\frac{5}{8}）$；
解得$x=\frac{5}{6}$（舍去），$x=\frac{1}{4}$；
故函数V在（0，$\frac{1}{4}$）上单调递增，在（$\frac{1}{4}$，$\frac{5}{8}$）上单调递减；
故这个长方体盒子的容积的最大时的x的值为$\frac{1}{4}$．
（2）记长方体的盒子的对角线长度为l米，
则$l=\sqrt{{{（2-2x）}^2}+{{（2k-2x）}^2}+{x^2}}=\sqrt{9{x^2}-8（1+k）x+4（1+{k^2}）}x∈（0，k）$，
∵l有最小值，
∴$\frac{4（1+k）}{9}∈（0，k）$，
解得$\frac{4}{5}＜k＜1$．
故k的范围为（$\frac{4}{5}$，1）．

点评 本题考查了函数在实际问题中的应用及导数的综合应用，属于中档题．