Question

20．已知各项为正数的数列{a_n}的前n项和S_n满足：S_n＞1，6S_n=（a_n+1）（a_n+2）（n∈N^*）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求证：$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}$+$\frac{1}{a{{\;}_{2}a}_{3}}$+…+$\frac{1}{a{{\;}_{n}a}_{n+1}}$＜$\frac{1}{6}$．

Answer 1

分析 （1）6S_n=（a_n+1）（a_n+2）=a_n²+3a_n+2，得6S_n-1=（a_n-1+1）（a_n-1+2）=a_n-1²+3a_n-1+2，两式作差，即可证明{a_n}为等差数列，从而求出a_n．
（2）由此利用裂项求和法能求出数列的前n项和，再放缩即可证明．

解答 解：（1）∵6S_n=（a_n+1）（a_n+2）=a_n²+3a_n+2，
∴6S_n-1=（a_n-1+1）（a_n-1+2）=a_n-1²+3a_n-1+2，
∴（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-3）=0，
∵a_n＞0，∴a_n-a_n-1=3，
∴{a_n}为等差数列，
∵6S₁=（a₁+1）（a₁+2）=a₁²+3a₁+2，
∴a₁=2，或a₁=1
∵a₁＞1，∴a₁=2，
∴a_n=3n-1，
（2）$\frac{1}{a{{\;}_{n}a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（3n-1）（3n+2）}$=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{3n-1}$-$\frac{1}{3n+2}$），
∴$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}$+$\frac{1}{a{{\;}_{2}a}_{3}}$+…+$\frac{1}{a{{\;}_{n}a}_{n+1}}$=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{8}$+…+$\frac{1}{3n-1}$-$\frac{1}{3n+2}$）=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3n+2}$）＜$\frac{1}{6}$

点评 本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，解题时要认真审题，注意迭代法和裂项求和法和放缩法的合理运用．