Question

四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，求能形成的三棱锥体积最大值．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：空间位置关系与距离

分析：根据条件，四根长为2的直铁条与两根长为a的直铁条要组成三棱镜形的铁架，有以下两种情况：①底面是边长为2的正三角形，三条侧棱长为2，a，a；②构成三棱锥的两条对角线长为a，其他各边长为2．当①中，SA⊥平面ABC时，三棱锥体积取最大值．

解答： 解：根据条件，四根长为2的直铁条与两根长为a的直铁条要组成三棱镜形的铁架，
有以下两种情况：
①底面是边长为2的正三角形，
三条侧棱长为2，a，a，如图，
此时a可以取最大值，可知AD=

3

，
SD=

a2-1

，
则有

a2-1

＜2+

3

，
即a²＜8+4

3

=（

6

+

2

）²，
即有1＜a＜

6

+

2

．
②构成三棱锥的两条对角线长为a，其他各边长为2，
如图所示，此时0＜a＜2

2

．
∴当①中，SA⊥平面ABC时，三棱锥体积取最大值，
此时V_S-ABC=

1

3

×SA×S△ABC=

1

3

×2×

1

2

×2×2×sin60°=

2 3

3

点评：本题考查的知识点是空间想像能力，我们要结合分类讨论思想，数形结合思想，极限思想，求出a的最大值和最小值，进而得到形成的三棱锥体积最大值．